Слово логарифм происходит от греческого(число и отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.Выбор изобретателем(1594г) логарифмов Дж.Непером такого названия объясняется тем,что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел,одно из которых является членом арифмитической прогрессии,а другое-геометрической.Логарифмы с основанием е Спейдел(1619 г.),составивший первые таблицы для функции ln x. Название более позднего происхождения натуральный (естественный) объясняется "естественностью" этого логарифма. Н.Меркатор(1620-1687),предложивший это название,обнаружил ln x - это площадь под гиперболой y=1/х . Он предлагал также название гиперболический.
Н.Меркатор
.В течение 16 века резко возрос объем работы,связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения задач,и в первую очередь задач астрономии,имеющий непосредственное практическое применение(в частности, при определении положения сосудов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частично упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение, деление чисел к сложению,вычитанию их логарифмов,удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории.Было создано практическое средство-таблица логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.(Вплоть до самого последнего времен, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов, как средство вычисления резко снижается.) Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги.
И.Бюрги
В таблицы Непера, изданные под названиями "Описание удивительной таблицы логарифмов"(1614 г.) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов"(1619) вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90 градусов с шагом в одну минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г. но вышли в свет они в 1620 году, уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными.
Одна из важных идей,лежащих в основе изобретения логарифмов,была уже известна. Штифель и ряд других математиков обратили внимание на то,что умножение и деление геометрической прогрессии
Соответствуют сложению и вычитанию показателей,образующих арифметическую прогрессию...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....
Но одной этой идеи недостаточно.Например,"сеть" целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа "остаются без логарифмов",поэтому была еще одна идея: возводить в степень числа очень близкие к единице.Заметив,что степени
при больших значениях n близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в качестве основания число
А Бюрги-число
Дальнейший ход их рассуждения и описания схем вычисления перессказать довольно трудно,как потому,что имеется много непростых деталей,так и потому,что тексты 16 века довольно туманны.Заметим только,что фактически Непер переходит к основанию
А Бюрги- к основанию
Это не изменило существа дела,но позволило несколько упростить вычисления и сами таблицы.
Таким образом, по существу оба изобретателя логарифма пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней вида
где М очень большое число.Рассмотрение чисел такого вида приводит к известному вам числу e , которое определялось как
Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (основания таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью третьего знака с е, основания таблицы логарифмов Непера близко к числу 1/е).
Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г) были составлены по совету Непера английским математиком Г.Бриггсом.
Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы достаточно точной при больших значениях m и n в виде степеней двойки:это давало ему возможность свести вычисления к последовательному извлечению квадратных корней.
При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги соотношение между приращениями x и y в произвольной точке x для функции y=logx.Отвлекаясь от деталей их системы изложения,основной результат можно выразить так:
, где k-некоторое постоянная.Если основание логарифмов -степень где n- достаточно большое число,то
Устремляя к нулю,приходим к дифференциальному уравнению y"=1/x,решением которого,как вы знаете,является функция lnx+C.Существует система изложения при которой
с самого начала определяется как ,т.е. -площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой,осью абсцисс и прямыми x =1 и
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log 5 25
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Получили ответ: 2.
Задача. Вычислите логарифм:
Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ — без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x
= log 10 x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e
? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e
= 2,718281828459...
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e
— основание натурального логарифма:
ln x
= log e
x
Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Логарифмы
История логарифмов
Название введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”. Логарифмы были изобретены Непером. Непер изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Логарифмы с основанием a ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln . Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).
Определение логарифма
Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Логарифм числа b по основанию a обозначается: log a b
Основное логарифмическое тождество
Это равенство является просто другой формой определения логарифма. Его часто называют основным логарифмическим тождеством.
Пример
1. 3=log 2 8, так как 2³=8
2. ½=log 3 √3 , так как 3= √3
3. 3 log 3 1/5 =1/5
4. 2=log √5 5, так как (√5)²=5
Натуральный и десятичный логарифмы
Натуральным называется логарифм, основание которого равно e. Обозначается ln b, т.е.
Десятичным называется логарифм, основание которого равно 10. Обозначается lg b, т.е.
Основные свойства логарифмов
Пусть: a > 0, a ≠ 1. Тогда:
1. log a x*y=logax+logay (x>0, y>0)
2. log a y/x=logax−logay (x>0, y>0)
3. log a x p =p*logax (x>0)
4. log a p x=1/p*logax (x>0)
Пример
1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;
2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3=log 5 125= 3;
3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.
Формы перехода от логарифма по одному основанию к логарифмы по другому основанию
1. log a b=log c b/log c a
2. log a b=1/log b a
Логарифмические уравнения
1) Уравнение содержащие переменную под знаком логарифма (log) называются логарифмическими. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида: log a x=b, где а>0 и а=1.
2) Решение логарифмического уравнения вида: log a f(x)=log a g(x) (1) основано на том, что оно равносильно уравнению вида f(x) = g(x) (2) при дополнительных условиях f(x)>0 и g(x)>0.
3) При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) возможно появление посторонних корней поэтому для них выявления требуется проверка.
4) При решении логарифмических уравнений часто используется метод подстановки.
Вывод
Логарифм число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.
Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 в. свойства прогрессий. Многие математики замечали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической прогрессии (в том же порядке) сложение, вычитание, умножение и деление. Настоящим триумфом стало открытие логарифмов как показателей степеней. Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, возведение в степень и более простыми действиями сложения, вычитания, .
Логарифмы были изобретены независимо друг от друга Непером и Бюрги в начале 16 в. В 1614 г. Непер опубликован свое "Описание удивительной таблицы логарифмов", содержавшее определение логарифмов (и их свойства), которые теперь мы называем Неперовыми логарифмами, а в 1620 г. швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) – опубликовал книгу "Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях". Однако таблицы Бюрги не получили значительного распространения.
Открытие логарифмов Непером, в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. С логарифмами многие расчеты пошли в десятки раз быстрее и легче. Недаром великий французский математик Пьер Симон Лаплас говорил, что "изобретение логарифмов удлинило жизнь".
Термин "логарифм" (logarithmus) тоже принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – "отношение" и arithmus – "число", т. е. означало число отношений. Однако ни у Непера, ни у Бюрги не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от . Даже значительно позднее, когда уже перешли к десятичным и натуральным логарифмам, еще не было сформулировано определение логарифма как показателя степени данного основания.
Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с подобными числами. В 1615 г. Непер познакомился с Генри Бригсом (1561-1631) – профессором математики Грешем-колледжа, который тоже задумывался над тем, как усовершенствовать таблицы логарифмов. В ходе беседы с Бригсом Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - просто единицу, и таким образом устранить имевшиеся недостатки. Воплотить свои идеи в жизнь Непер не смог из-за пошатнувшегося здоровья, но он указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.
В 1617 г. Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений – "Первую тысячу логарифмов". В этих таблицах были даны восьмизначные десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000. Позднее (в 1624 г.), уже после того как он стал профессором в Оксфорде, Бригс выпустил "Логарифмическую арифметику". В книге содержались четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.
Сам термин "натуральный логарифм" в 1659 г. ввел Пьетро Менголи – итальянский математик, преподававший в Болонском университете, а знак Log был введен в 1624 г. Иоганном Кеплером (1571-1630), знаменитым немецким математиком, астрономом и оптиком, открывшим законы движения планет.
Следует отметить огромную работу, проделанную голландским математиком Андрианом Влакком. В 1628 г. он издал десятизначные таблицы логарифмов от 1 до 100000. Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причем их авторы внесли много изменений в структуру логарифмических таблиц и поправок. В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 г. Л. Ф. Магницким.
За основание Бригговых логарифмов, как уже отмечалось, было взято число 10. В случае же Неперовых логарифмов сама константа (основание логарифмов) явно не определена. Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой встречается в письмах Готфрида Лейбница к Кристиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 гг. Букву е начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с использованием этой буквы была его работа "Механика, или Наука о движении, наложенная аналитически" (1736). Соответственно, е иногда называют числом Эйлера. В 1874 г. французский математик Ш. Эрмит доказал, что основание натуральных логарифмов е трансцендентно (как ). Величина е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49.
Число е можно запомнить по следующему : два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45. 90 и 45 градусов). А вот еще один оригинальный способ запоминания: предлагается запомнить число е с точностью до трех знаков после запятой через "число дьявола": нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (три шестерки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): 666/245 = 2,718.